多项式重点题型 多项式典型难题

高中数学竞赛关于多项式的题

若整数b是p(x)的根，则p(b)=0,而p(a)=1,故a≠b,

多项式重点题型 多项式典型难题

多项式重点题型 多项式典型难题

p(x)是整系数多项式，

∴a-b|p(a)-p(b),即a-b|1,

∴b-a=土1，b=a土1，

∴p(x)多只有两个整数根

系数均为证书，这是什么意思？

有关多项式的典型题

例 判断下列各说法是否正确，错误的改正过来；

（1）单项式 的系数是 ，次数是2次．（ ）

（2）单项式 的次数是1次．（ ）

（3）任何两个单项式的和是多项式．（ ）

（4） 是单项式．（ ）

（5） 不是单项式．（ ）

（6） 的系数是 ，次数是1次．（ ）

（7） 没有系数．（ ）

（8）多项式 是一次二项式．（ ）

（9） 是二次三项式．

解：（1）错． 的系数是－ ，次数是3次．

（2）错．单项式 的次数是3次．

（3）错．任何两个单项式的和不一定是单项式；

（4）错． 是多项式．

（5）错． 是单项式．

（6）对

（7）错． 的系数是1．

（8）错．）多项式 是三次二项式．

（9）对

说明：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，如 的次数是 次．任何两个单项式的和不一定是多项式，如单项1与单项式 的和为 ，而 为单项式． 可写成 ，因此多项式 是二次三项式．

多项式的题目？

1．下列计算错误的是（ ）

A．（x+1）（x+4）=x2+5x+4 B．（m－2）（m+3）=m2+m－6

C．（y+4）（y－5）=y2+9y－20 D．（x－3）（x－6）=x2－9x+18

2．计算m2－（m+1）（m－5）的结果正确的是（ ）

A．－4m－5 B．4m+5 C．m2－4m+5 D．m2+4m－5

3．计算（ － ）（ ）+b2的结果是（ ）

A． a2 B． （a2+5b2） C． （a2－5b2） D． a2+ b2

4．如果（x+q）（x+ ）的积中不含x项，那么q的值是（ ）

A．5 B．－5 C． D．－

5．计算:

（1）（x+2）（x+3） （2）（3x－1）（2x－1）

（3）（x－3y）（x+7y） （4）（5x+2y）（3x－2y）

6．计算:

（1）（x+2）（x－3） （2）（a－b）（m+2n）

（3）（x－2y）（y－x） （4）（ x－ y）（ x+ y）

（5）（x－y）2 （6）（a+b）（a－b）

7．当a=－ 时，求（a－4）（a－3）－（a－1）（a－3）的值．

◆综合应用

8．利用公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab计算:

（1）（x+1）（x+3） （2）（a－2）（a－5）

（3）（a－y）（a+2） （4）（m+2）（m－3）

（5）（ab－2）（ab+1） （6）（x－2y）（x+3y）

9．先化简，再求值:（x－1）（x+2）+（2x－1）（x+5）－3（x2－6x－1），其中x=3 ．

10．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．

x（x－1）+（x－1）（x+1）<2（x+1）（x+1）．

◆拓展提升

11．若（x2+px+q）（x2－2x－3）展开后不含x2，x3项，求p，q的值．

参

1．C 2．B 3．B 4．D

5．（1）x2+5x+6 （2）6x2－5x+1

（3）x2+4xy－21y2 （4）15x2－4xy－4y2

6．（1）x2－x－6 （2）am－bm+2an－2bn （3）－x2+3xy－2y2

（4） x2+ xy－ y2 （5）x2－2xy+y2 （6）a2－b2

7．－3a+9，10

8．（1）x2+4x+3 （2）a2－7a+10 （3）a2－5a－14

（4）m2－m－6 （5）a2b2－ab－2 （6）x2+xy－6y2

9．28x－4，94

10．x>－ ，图略

11．p=2，q=7

题在哪？？？

人教版七年级上册数学多项式复习

这种计算方法是不对的

正确的结果应该是1

但是你看他计算的第三步

是同时约了X-1

相当于两边同时约了0

在数学计算时是不能约0的

所以造成结果荒谬

所以一般的未知数

我们不能确定它是否为0

就不能直接约掉未知数

1.多项式中的常见问题

三者由上到下进行推导

(1)设 是一个整系数多项式，已知是一个整系数多项式，且 都是奇数，则 无整数根。

(2)设 是一个整系数多项式，已知a是偶数，b是奇数，且 都是奇数，则 无整数根。

(3)已知 是一个整系数多项式，已知 都不被3整除，则 无整数根

此判别法的证明过程相当的重要，务必熟悉课本证明方法，了解每一个整除和不整除的目的。

设 是一个整系数多项式，并且存在素数p使得 ，则 有一个次数大于等于r且在有理数域上不可约的因式。

利用这二者为强大工具，可以进行一系列证明。

例1.已知 ，则

证明：设 ，则取 的不可约因式 ， ，又 不可约，故 或 ，就会得到 或 ，不管哪种情况，都与之前的已知矛盾。

例2.已知 是两个多项式，证明：对任意正整数n，都有

例3.已知 是两个多项式，且 ，证明：对任意正整数n有

首先，引入一个命题，课本上作为习题出现，对于一下题目的证明起到相当粗暴有效的作用。

例.设 ，证明 充要条件是n为偶数

例.已知 是互异的整数，证明：

(1) 在有理数域上不可约

(2)n是奇数时， 在有理数域上不可约

(3) n是偶数时比较繁琐：可以证明n=2或4时， 在有理数域上可能可约，但 时，g(x)在有理数域上一定不可约(证明过程参见丘维声高等代数教材)

(4) 在有理数域上不可约

提示：不妨设可约 ，(1),(2)中将 带入后，可分别得到 和 进一步可得到矛盾，(4)中则利用 推导出不可能出现分解式一会儿正，一会儿负的情况，否则由于多项式连续，介值定理知 必存在零点，矛盾，故分解式恒正或恒负，接下来工作就较为简单了。