四时之终始万物之祖宗出自哪本书_四时之终始万物之祖宗是什么著作

四时之终始,万物之祖宗出自

二七一十四，自相乘，得一百九十六，二人分之，人得九十八。

四时之终始，万物之祖宗，是指宇宙的起源无论是科学还是宗教，万物之祖宗都代表着人类对于宇宙和生命的探索和追求。人类一直在寻找宇宙和生命的起源，而万物之祖宗则是他们的探索起点。和演化。在古代的哲学中，它被认为是自然界万物的起源和决定性因素。在传统文化中，四时是指春、夏、秋、冬四个季节，它们代表着自然界的循环和变化。万物之祖宗则是指天地之间的神秘力量，是造物主的象征。

四时之终始万物之祖宗出自哪本书_四时之终始万物之祖宗是什么著作

四时之终始万物之祖宗出自哪本书_四时之终始万物之祖宗是什么著作

从古至今，人们一直在探索宇宙的奥秘。在古代，人们认为四时的变化是由于天地之间的阴阳力量的相互作用，而万物之祖宗则是宇宙的基本粒子，是构成自然界的最小单位。在现代科学中，四时的变化是由于地球公转和自转的原因，而万物之祖宗则是指宇宙中的基本物质。

“天地之变，阴阳之化，四时之终始，万物之纪纲。

玉方寸重一十两。

这句话的意思是自然界万物以及四时变化都是客观存在的，万物都是天地与阴阳变化相互作用的结果，万物的生化是自然而然的，是没有意志与目的的。

后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵：

出处：《荀子·礼论》。

白话译文：天地间的万物都是天地结合的产物，并在阴阳二气的接触推荡中变化。

“天地之变，阴阳之化”是荀子的自然观是唯物主义基本观点，认为“天”就是客现存在的自然界，日月星辰，山川草木，阴阳风雨，四时变化，都同属于这个物质世界。

扩展资料：

荀子（约公元前313年－公元前238年），名况，字卿，华夏族（汉族），战国末期赵国人 。思想家、文学家、家，时人尊称“荀卿”。

荀子对儒家思想有所发展，在人性问题上，提倡性恶论，主张人性有恶，否认天赋的道德观念，强调后天环境和教育对人的影响。其学说常被后人拿来跟孟子的‘性善论’比较，荀子对重新整理儒家典籍也有相当显著的贡献。

四时之终始是哪本著作

今有三分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少，几何而平？答曰：减四分之三者二，减三分之二者一，并以益三分之一，而各平于一十二分之七。

四时之终始出自《孙子算经》这本书。《孙子算经》是古代重要的数学著作，成书大约在四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年不详。传本的《孙子一四如四，自相乘，得一十六，一人得一十六。算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，卷中举例说明筹算分数算法和筹算方法。

根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13--14cm，径粗0．2～0．3cm，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。别看这些都是一根根不起眼的小棍子，在数学史上它们却是立有大功的。而它们的发明，同样经历了一个漫长的历史发展过程。

认为数学是天地万物最根本的东西是什么？

〈原序〉

《孙子算经》中认为数学是天地万物最根本的东西，是四时之终始，万物之祖宗。

《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和方法，都是了解古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题。

扩展资料

影响

具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：‘二十三’”。《孙子算经》不但提供了，而且还给出了解法。

南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数”的问题。德国数学家高斯于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理。

公元1852年，英国士伟烈亚士将《孙子算经》“物不知数”问题的解法传到欧洲，公元1874年马蒂生指出孙子的解法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一个定理凡大数之法：万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰穰，万万穰曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载。称为“的剩余定理”。

万物之祖宗的著作是什么 万物之祖宗的著作介绍

凡乘之法：重置其位，上下相观，头位有十步，至十有百步，至百有千步，至千以上命下所得之数列于中。言十即过，不满，自如头位。乘讫者，先去之下位；乘讫者，则俱退之。六不积，只。上下相乘，至尽则已。

1、万物之祖宗的著作是《孙子三五一十五，自相乘，得二百二十五，三人分之，人得七十五。算经》。

2、《孙子算经》是古代重要的数学著作，成书大约在前四、前五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年不详。传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，卷中举例说明筹算分数算法和筹算方法。

四时之终始万物之祖宗出自哪部著作

为什么被3除的余数要乘70，而被5除的余数乘21，被7除的余数乘15呢？仔细研究不难发现：

四时之终始万物之祖宗出自《孙子算经》。而这句话强调了数学和计算的重要性，指数学是四季的开始和终结,是万物的始源。《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其成书大约在四、五世纪，也就是大约一千五百年前。传本的《孙子算经》一共为三卷。其具有重大意义的是卷下第26题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。书中不但提供了，而且还给出了解法。

上卷：详细的讨论了度量衡的单位和筹算的制度和方法。度量衡包括长度（度），质量（量），体积/容积（衡）。

中卷主要是关于分数的应用题，包括面积、体积、等比数列等计算题，大致都在《九章》中论述的范围之内。

下卷对后世的影响最为深远，如下卷第3以一万九千六百八十三乘二万六千二百四十四，得五亿一千六百五十六万六百五十二，一万三千一百二十二人分之，人得三万九千三百六十六。1题即的“鸡兔同笼”问题，后传至日本，被改为“鹤龟算”。

（）认为数学是天地万物最根本的东西，是四时之始终，万物之祖宗。

二二如四，自相乘，得一十六，二人分之，人得八。

【】：D

本题考查人文历史。

B项错误，《周髀算经》是《算经十书》之一，最古老的汉族天文学和数学著作。约成书于公元前1世纪，在数学此题由于出现“除以9余5”，因此，如果照搬上述的方法显然是行不通的，但仍可以运用上述的思维方式进行解答。上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用以及怎样引用到天文计算。

D项正确，《孙子算经》是古代重要的数学著作，成书大约在四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年不详。传本的《孙子算经》共三卷。其序言写道，孙子曰：“夫算者：天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，万物之祖宗，六艺之纲纪。”

故正确为D。

四时之终始万物之祖宗出自哪本书 孙子算经数学著作

C项错误，《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右。该书内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，涉及了分数、比例、面积计算法、开方以及方程中的正负数运算等。它的出现标志古代数学形成了完整的体系。

作为数学著作里面的句子，肯定是赞扬数学的，这句话夸大了数学对于生活的作用，将数学过于神化，将数学比作四季的开端和结尾，万物都离不开数学，是一切的起源，展现了数学的重要性。数学对于生活是很重要，日常生活中的很多东西也离不开数学，但对于万物起源、四季始末明显是过分强调来。这也是可以理解到，既然是数学著作，肯定要突出数学的重要性。

一、四时之始终万物知祖宗的含义

这句话虽然过于夸大数学的重要性，但数学对于生活来说确实是必不可少的，就连买菜做饭都要用到数学，只不过这些数学都是一些基础打，基本人人都懂，稍微学习一下就可以了。对于那些数学学术研究的人来说，数学不仅仅解决生活中的问题，还要通过这些简单的问题由浅入深，探索更深层次的东西，才有了现在的数学成就。

二、孙子算经

《孙子算经》是南北朝时期一本介绍数学问题的著作，书中对于生活中遇到的数学问题都有列举和回答，为后面古代的数学研究做出了重大贡献，使得的数学水平领先世界年限数百年。《孙子算经》一共有上中下三卷，影响的就是上卷，主要介绍了数学中的筹算法，这种方法是当时的算法，包含了当时主流的方法和分数算法。中卷的主要内容类似于今天的应用题，包括求物体的面积体积这类，和《九章算术》的内容有点类似。下卷主要解决生活种的一些实际问题，被奉为经典的鸡兔同笼问题就是出自此书的下卷。感兴趣的朋友还可以了解一下宋元数学四大家分别是谁。

四时之终始出自哪本书 四时之终始万物之祖宗出自哪本书

《孙子算经》为古代 《算经十书》之一。

2、万物是一个汉语词汇，读音为wàn wù，指宇宙间一切存在事物。

3、书就是现在的无论是古代哲学还是现代科学，都在探索宇宙的奥秘，寻求人类与自然的和谐。四时之终始，万物之祖宗，是自然界的规律和秩序，是人类文明发展的基础和支柱。我们应该珍惜自然资源，保护环境，与自然和谐共处，才能实现人类的长远发展和繁荣。图书是人类用来记录一切成就的主要工具，也是人类交融感情、取得知识、传承经验的重要媒介，对人类文明的开展贡献至钜。古今中外，人们对于图书总是给予的肯定与特别的关怀。教科文组织对图书的定义：凡由出版社（商）出版的不包括封面和封底在内49页以上的印刷品，具有特定的书名和著者名，编有标准书号。有定价并取得版权保护的出版物称为图书。

万物之祖宗是出自哪里的

原文：天地合而万物生，阴阳接而变化起。

万物之祖宗是指宇宙或生命的起源。在科学上，它通常指的是宇宙的起源，即大爆炸理论。根据这个理论，宇宙在约138亿年前由一个极度密集的点突然爆炸而成。这个点包含了所有物质、能量和空间及时间的种子。

然而，在宗教和神话中，万物八九七十二，自相乘，得五千一百八十四，八人分之，人得六百四十八。之祖宗则常常被归于创世神或神话中的众神。例如，希腊神话中的创世神宙斯、神话中的、北欧神话中的奥丁等等。

写5条关于《孙子算经》中的题目及

四时之终始万物之祖宗出自《孙子算经》，《孙子算经》对于古代的数学发展起到了非常重大的作用，是一本不可多得的关于数学知识的著作。这本书在一千五百年前就对数学问题进行了讨论，里面有一个例题非常的经典，一直流传至今，那就是“鸡兔同笼”问题，鸡兔同笼就是最早出自这本书，到现在还被奉为经典。

《孙子算经》里的孙子问题

在我国古代数学名著《孙子算经》的下卷中，记载有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何?”(答曰：二十三)这就是闻名于世的“孙子问题”。《孙子算经》中给出了它的一般解法：“术日：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百一十减之即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。”明朝数学家程大位在所著《算法统宗》中把这一解法概括为四句歌诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”具体到本题的结果，由70×2+21×3+15×2—2×105=23得所求物为23个，一般地说，所求物个数是23+105n(n=0，1，2，3……)。它的解答要用到不定方程的知识或同余的知识。

《孙子算经》对于“孙子问题”的解答暗示了一般途径，由它作出的理论概括，被西方誉为“剩余定理”。孙子问题的算法还有其他一些名称，如“谷算”、“隔墙算”、“秦王暗点兵”和“韩信点兵”等。其中“韩信点兵”也指这样的问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数。下面给出它的一个算术解法：(1)在6、7、11的公倍数中找一个被5除余1的数，如3×462；(2)在5、7、11的公倍数中找一个被6除余5的数，如5×385；(3)在5、6、11公倍数中找一个被7除余4的数，如4~330；(4)在5、6、7的公倍数中找一个被ll除余1O的数，如10×210；(5)3×462+5×385+4×330+lO×210=6731，则6731是满足条件的一个数，它比5、6、7、11的最小公倍数2310大，若求满足条件的最小正数，则应从6731中减去2310的两倍，得211l，由此所求兵数的一般结果是2111+2310 n(n=0，1，2，……)。这种算术解法也适用于“孙子问题”。

《孙子算经》中的剩余定理

最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学《孙子算经》著作中的“物不知数”题目。这道“物不知数”的题目是这样的：

《孙子算经》给出了这道题目的解法和，用算式表示即为：

70×2＋21×3＋15×2－105×2＝23

“三人同行七十（70）稀，

五树梅花二一（21）枝。

七子团圆正半月（15），

除百零五（105）便得知。

5×7×2≡1（mod3），3×7≡1（mod5），3×5≡1（mod7），

这就是南宋数学家秦九韶在他的《数书九章》中提出的“大衍求一术”的理论，通俗地说，就是求“一个数的多少倍除以另一个数，所得的余数为一”。该理论在西方数学史著作中正式被称为“剩余定理”。

如何运用剩余定理解题呢？

例1 除以3余1，除以5余2，除以7余4的最位数是多少？

这类题目可以直接运用上述的诗歌内容来解答，即用被3除的余数去乘70，用被5除的余数去乘21，用被7除的余数去乘15，再根据要求找出最小的三位数：

1×70＋2×21＋4×15＝70＋42＋60＝172

例2 一个数除以5余3，除以7余4，除以9余5，这个数最少是多少？

7×9≡3（mod5），余数同题中所要求的“一个数除以5余3”相同。

5×9≡3（mod7），而题中要求“一个数除以7余4”，因此，只有将5×9的积扩大一定倍数，让其积被7除余4才可，即：5×9×6≡270≡4（mod7）。

同理，5×7≡8（mod9），只有5×7×4≡140≡5（mod9）。

因此，这个数的解法为：

7×9＋5×9×6＋5×7×4－5×7×9

=63＋270＋140－315

=473－315

=158

所以，这个数最少是158。

在这题的解法中，有一个值得探讨的问题是：在5×9≡3（mod7），余数与题中要求的“一个数除以7余4”不符时，为什么一定要将5×9的积扩大6倍，使其积被7除余4呢？这是因为这样的数就满足了能被5和9整除，同时被7除余4的要求，即5×9×6≡4（mod7）≡0（mod5）≡0（mod9）。同理，7×9≡3（mod5）≡0（mod7）≡0（mod9），5×7×4≡5（mod9）≡0（mod5）≡0（mod7）。所以，（5×9×6＋7×9＋5×7×4）≡473≡4（mod7）≡3（mod5）≡5（mod9）。

孙子算经

〈四库全书．孙子算经．提要〉：

臣等谨案〈隋．经籍志〉有《孙子算经》二卷，不着其名，亦不着其时代，〈唐．艺文志〉称李淳风注甄鸾《孙子算经》三卷于孙子上冠以甄鸾，盖如淳风之注《周髀算经》因鸾所注，更加辨论也。《隋书》审度引《孙子算术》：「蚕所生吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为牦，十牦为分。」本书乃作：「十忽为一丝，十丝为一毫。」又论嘉量，引《孙子算术》：「六为圭，十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合。」本书乃作：「十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺。」考之《夏侯阳算经》引田曹、仓曹亦如本书，而《隋书》中所引与史传往往多合，盖古书传本不一，校订之儒各有据证，无妨参

互见也。唐之选举，算学凡十书，《孙子》《五曹》共限一岁习肄，于后来诸算术中，特为近古，第不知孙子何许人，《朱彝尊集》〈五曹算经．跋〉：「相传其法出于孙武，然孙子别有算经，考古者存其说可尔。」又有〈孙子算经．跋〉云：「首言度量，所起合乎兵法：『地生度，度生量，量生数』之文，次言乘除之法，设为之数，十三篇中所云：

『廓地分利、委积、远输贵卖、兵役、分数』比之《九章》〈方田〉、〈米〉、〈分〉、〈商功〉、〈均输〉、〈盈不足〉之目，往往相符，而要在『得算多，多算胜』以是知此编非伪托也。」彝尊之意，盖以为确出于孙武。今考书内设问有云：「长安、洛阳相去九百里」又云：「佛书二十九章，章六十三字。」则后汉明帝以后人语。孙武，春秋末人，安有是语乎！旧本久佚，今从《永乐大典》所载□集编次，仍为三卷，冠以〈原序〉，其甄、李二家之注，则不可复考，是则姚广孝等割裂刊削之过矣。干隆四十三年七月，恭校上。

总纂官：臣纪昀、臣陆锡熊、臣孙士毅。

总校官：臣陆费墀。

孙子曰：夫算者：天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，万物之祖宗，六艺之纲纪。稽群伦之聚散，考二气之降升，推寒暑之迭运，步远近之殊同，观天道精微之兆基，察地理从横之长短，采神祇之所在，极成败之符验。穷道德之理，究性命之情。立规矩，准方圆，谨法度，约尺丈，立权衡，平重轻，剖毫厘，析泰絫。历亿载而不朽，施八极而无疆。散之者，富有余；背之者，贫且寠。心开者，幼冲而即悟；意闭者，皓首而难精。夫欲学之者，必务量能揆己，志在所专，如是，则焉有不成者哉！

〈卷上〉

度之所起，起于忽。欲知其忽，蚕吐丝为忽，十忽为一丝，十丝为一毫，十毫为一牦，十牦为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈，十丈为一引，五十引为一端，四十尺为一匹，六尺为一步，二百四十步为一亩，三百步为一里。

称之所起，起于黍。十黍为一絫，十絫为一铢，二十四铢为一两，十六两为一斤，三十斤为一钧，四钧为一石。

量之所起，起于。六为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛，十斛得六千万。所以得知者，六为一圭，十圭六十为一撮，十撮六百为一抄，十抄六千为一勺，十勺六万为一合，十合六十万为一升，十升六百万为一斗，十斗六千万为一斛，十斛六亿百，斛六兆，千斛六京，万斛六陔，十万斛六秭，百万斛六穰，千万斛六沟，万万斛为一亿六涧，十亿斛六正，百亿斛六载。

周三，径一，方五，邪七。见邪求方，五之，七而一；见方求邪，七之，五而一。

白银方寸重一十四两。

铜方寸重七两半。

铅方寸重九两半。

铁方寸重七两。

石方寸重三两。

凡算之法：先识其位，一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。（案：万百原本讹作百万，今据《夏侯阳算经》改正。）

凡除之法：与乘正异乘得在，除得在上方，令六为法，百为实，以六除百，当进之二等，令在正百下。以六除一，则法多而实少，不可除，故当退就十位，以法除实，言一六而折百为四十，故可除。若实多法少，自当百之，不当复退，故或步法十者，置于十百位（头位有空绝者，法退二位。）余法皆如乘时，实有余者，以法命之，以法为母，实余为子。

以粝米求，五之，三而一。

以粝米求饭，五之，二而一。

以米求粝饭，六之，四而一。

以粝饭求粝米，二之，五而一。

以□米求饭，八之，四而一。

九分减一者，以二乘十八除。

八分减一者，以二乘十六除。

七分减一者，以二乘十四除。

六分减一者，以二乘十二除。

五分减一者，以二乘十除。

八十一，自相乘得几何？答曰：六千五百六十一。

术曰：重置其位，以上八呼下八，八八六十四即下，六千四百于中位；以上八呼下一，一八如八，即于中位下八十，退下位一等，收上头位八十（案：原本脱「上」字，今补。）以上位一（案：上位原本讹作「头位」，今改正。）呼下八，一八如八，即于中位，下八十；以上一呼下一，一一如一，即于中位下一，上下位俱收中位，即得六千五百六十一。

六千五百六十一，九人分之。问：人得几何？答曰：七百二十九。

术曰：先置六千五百六十一于中位，为实，下列九人为法，头位置七百（案：原本脱上字，今补。），以上七呼下九，七九六十三，即除中位六千三百，退下位一等，即上位，置二十（案：上位原本讹作头位，今改正。），以上二呼下九，二九一十八，即除中位一百八十，又更退下位一等，即上位，更置九（案：上位原本亦讹作头位，今改正。），即以上九呼下九，八十一，即除中位八十一，中位并尽，收下位，头位所得即人之所得，自八八六十四至一一如一，并准此。

七九六十三，自相乘，得三千九百六十九，七人分之，人得五百六十七。

六九五十四，自相乘，得二千九百一十六，六人分之，人得四百八十六。

五九四十五，自相乘，得二千二十五，五人分之，人得四百五。

四九三十六，自相乘，得一千二百九十六，四人分之，人得三百二十四。

三九二十七，自相乘，得七百二十九，三人分之，人得二百四十三。

二九一十八，自相乘，得三百二十四，二人分之，人得一百六十二。

一九如九，自相乘，得八十一，一人得八十一。

右一条，得四百五，自相乘，得一十六万四千二十五，九人分之，人得八千二百二十五。

八八六十四，自相乘，得四千九十六，八人分之，人得五百一十二。

七八五十六，自相乘，得三千一百三十六，七人分之，人得四百四十八。

六八四十八，自相乘，得二千三百四，六人分之，人得三百八十四。

五八四十，自相乘，得一千六百，五人分之，人得三百二十。

四八三十二，自相乘，得一千二十四，四人分之，人得十六。

三八二十四，自相乘，得五百七十六，三人分之，人得一百九十二。

二八十六，自相乘，得十六，二人分之，人得一百二十八。

一八如八，自相乘，得六十四，一人得六十四。

右八八一条，得二百八十八，自相乘，得八万二千九百四十四，八人分之，人得一万三百六十八。

七七四十九，自相乘，得二千四百一，七人分之，人得三百四十三。

六七四十二，自相乘，得一千七百六十四，六人分之，人得二百九十四。

五七三十五，自相乘，得一千二百二十五，五人分之，人得二百四十五。

四七二十八，自相乘，得七百八十四，四人分之，人得一百九十六。

三七二十一，自相乘，得四百四十一，三人分之，人得一百四十七。

一七如七，自相乘，得四十九，一人得四十九。

右七七一条，得一百九十六，自相乘，得三万八千四百一十六，七人分之，人得五千四百八十八。

六六三十六，自相乘，得一千二百九十六，六人分之，人得二百一十六。

五六三十，自相乘，得九百，五人分之，人得一百八十。

四六二十四，自相乘，得五百七十六，四人分之，人得一百四十四。

三六一十八，自相乘，得三百二十四，三人分之，人得一百八。

二六一十二，自相乘，得一百四十四，二人分之，人得七十二。

一六如六，自相乘，得三十六，一人得三十六。

右六六一条，得一百二十六，自相乘，得一万五千八百七十六，六人分之，人得二千六百四十六。

五五二十五，自相乘，得六百二十五，五人分之，人得一百二十五。

四五二十，自相乘，得四百，四人分之，人得一百。

二五一十，自相乘，得一百，二人分之，得五十。

一五如五，自相乘，得二十五，一人得二十五。

右五五一条，得七十五，自相乘，得五千六百二十五，五人分之，人得一千一百二十五。

四四一十六，自相乘，得十六，四人分之，人得六十四。

三四一十二，自相乘，得一百四十四，三人分之，人得四十八。

二四如八，自相乘，得六十四，二人分之，人得三十二。

右四四一条，得四十，自相乘，得一千六百，四人分之，人得四百。

三三如九，自相乘，得八十一，三人分之，人得二十七。

二三如六，自相乘，得三十六，二人分之，人得一十八。

一三如三，自相乘，得九，一人得九。

右三三一条，得一十八，自相乘，得三百二十四，三人分之，人得一百八。

一二如二，自相乘，得四，一人得四。

右二二一条，得六，自相乘，得三十六，二人分之，人得一十八。

一一如一，自相乘，得一，一乘不长。

右从至一一，总成一千一百五十五，自相乘，得一百三十三万四千二十五，九人分之，人得一十四万八千二百二十五。

以九乘一十二，得一百八，六人分之，人得一十八。

以二十七乘三十六，得九百七十二，一十八人分之，人得五十四。

以八十一乘一百八，得八千七百四十八，五十四人分之，人得六十二。

以二百四十三乘三百二十四，得七万八千七百三十二，一百六十二人分之，人得四百八十六。

以七百二十九乘九百七十二，得七十万八千五百八十八，四百八十六人分之，人得一千四百五十八。

以二千一百八十七乘二千九百一十六，得六百三十七万七千二百九十二，一千四百五十八人〈卷中〉分之，得四千三百七十四。

以六千五百六十一乘八千七百四十八，得五千七百三十九万五千六百二十八，四千三百七十四人分之，人得一万三千一百二十二。

以五万九千四十九乘七万八千七百三十二，得四十六亿四千九百四万五千八百六十八，三万九千三百六十六人分之，人得一十一万八千九十八。

以五十三万一千四百四十一乘七十万八千五百八十八，得三千七百六十五亿七千二百七十一万五千三百八，三十五万四千二百九十四人分之，人得一百六万二千八百八十二。

今有一十八分之一十二。问：约之得几何？答曰：三分之二。

术曰：置十八分在下，一十二分在上，副置二位以少减多，等数得六为法，约之即得。

今有三分之一、五分之二。问：合之二得几何？答曰：一十五分之十一。

术曰：置三分五分在右方，之一之二在左方，母互乘子，五分之二得六，三分之一得五，并之，得一十一为实；又方二母相乘，得一十五为法。不满法，以法命之，即得。

术曰：置九分五分在右方，之八之一在左方，母互乘子，五分之一得九，九分之八得四十，以少减多，余三十一，为实；母相乘，得四十五，为法。不满法，以法命之，即得。