抛物线及其标准方程_抛物线及其标准方程教材分析
抛物线的定义与标准方程
抛物线的定义
抛物线及其标准方程_抛物线及其标准方程教材分析
抛物线及其标准方程_抛物线及其标准方程教材分析
抛物线及其标准方程_抛物线及其标准方程教材分析
（1）定义
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.抛物线的定义也可以说成是：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比等于1的点的轨迹.
（2）规律总结
①在抛物线的定义中，定点F不在直线l上，否则动点的轨迹就是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不再是抛物线.
②抛物线的定义指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故在一些问题中，二者可以互相转化，这是利用抛物线定义解题的关键.
2、抛物线的有关概念
定义
图形
抛物线的弦、焦点弦
连接抛物线上任意两点的线段，叫做抛物线的弦.
过抛物线焦点的弦，叫做抛物线的焦点弦
抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称
轴的弦叫做抛物线的通径
焦半径
抛物线上一点P和焦点的连
线叫做点P的焦点半径或焦
半径
抛物线的焦准距
抛物线的焦点和它的准线间的距离，叫做焦准距.
依据定义，显然有
，，即焦准距等于通径长的一半.焦准距用常数p表示
3、抛物线的标准方程
标准方程
图形
焦点
准线方程
①抛物线的标准方程是指抛物线在标准状态下的方程，即顶点在原点，焦点在坐标轴上.
②抛物线的标准方程中的系数p叫做焦参数，它的几何意义是：焦点到准线的距离焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为.
③抛物线的标准方程有四种类型，所以判断其类型是解题的关键.在方程的类型已确定的前提下，因为标准方程只有一个参数p，所以只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程
④对上面表示的四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，得出其异同点.共同点：
a.原点在抛物线上；
b.焦点都在坐标轴上；
c.准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的的，即.
不同点：
a.焦点在x轴上时，方程的右端为，左端为；焦点在y轴上时，方程的右端为，左端为；
b.开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号.
4、抛物线的性质
标准方程
图形
顶点
对称轴
x轴
y轴
焦点
准线方程
位置特征
抛物线在y轴右侧，当x增大时，也增大
抛物线在y轴左侧，当x减小时，增大
抛物线在x轴上方，当y增大时，也增大
抛物线在x轴下方，当y减小时，增大
离心率
焦准距
p通径长
2p
焦参数
p的焦半径
5、抛物线的焦点弦的性质
如图，AB为抛物线的焦点弦，.焦点，准线，，，且M，N分别为AB，CD的中点，则
（1），；
（2），，；
（3） （为AB的倾斜角）；
（4）直角梯形ABDC的对角线交于原点O，且；
（5）MN被抛物线平分，即R为MN的中点；
（6）；
（7）（定值）；
（8）以AB为直径的圆必与准线相切.
6、关于抛物线的几个重要结论
（1）弦长公式同椭圆
（2）对于抛物线，我们有在抛物线内部；在抛物线外部.
（3）过抛物线上的点的切线方程是.
抛物线的斜率为k的切线方程是.
（4）若过抛物线上两点，的两条切线交于点，则，.
抛物线的方程是什么？
抛物线方程y^2=2px(p>0)里的p表示焦点到准线的距离。2是常数。
抛物线中的p叫做焦准距，是圆锥曲线的几个基本参量之百一，意义为焦点到对应准线的距离，符号度为p。
一、抛物线的标准方程与几何性质
二、抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，p/2等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助。
用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用。
由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可。
涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解。
典型例题1：
三、求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式。
研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用。
抛物线的标准方程是什么样的？
抛物线的标准方程有四种形式，其中参数p的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质：其中P(x0,y0)为抛物线上任一点。
抛物线的四种图像如下表所示：
对于抛物线y^2=2px(p≠0)上的点的坐标可设为( ,y0)，以简化运算。
抛物线的焦点弦
设过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2）。
直线OA与OB的斜率分别为k1,k2，直线l的倾斜角为α，则有y1y2=-p^2，x1x2= ，k1k2=-4，|OA|= ，|OB|= ， |AB|=x1+x2+p。
扩展资料
抛物线四种方程共同点
1、原点在抛物线上，离心率e均为1。
2、对称轴为坐标轴。
3、准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的的1/4。
抛物线四种方程不同点
1、对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2。
2、开口方向不同。
开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号。
开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。
参考资料来源：
抛物线的标准方程是什么？
抛物线标准方程:
y2 =2px（p>0）（开口向右）；
y2 =-2px（p>0）（开口向左）；
x2 =2py（p>0）（开口向上）；
x2 =-2py（p>0）（开口向下）；
焦点坐标为(p/2,0)
共同点：
1、原点在抛物线上，离心率e均为1 ；
2、对称轴为坐标轴；
3、准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的的1/4。
扩展资料：
对于抛物线y1=2px，p>0时，定义域为x≥0，p<0时，定义域为x≤0；对于抛物线x1=2py，定义域为R。
值域：对于抛物线y1=2px，值域为R，对于抛物线x1=2py，p>0时，值域为y≥0，p<0时，值域为y≤0。
抛物线标准方程：y1=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为（p/2，0） 准线方程为x=-p/2。
由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y1=2px，y1=-2px，x1=2py，x1=-2py。
参考资料来源：
抛物线的标准方程是什么？
抛物线的标准方程有四个：
抛物线右开口抛物线:y^2=2px
左开口抛物线:y^2=—2px
上开口抛物线:x^2=2py
下开口抛物线:x^2=—2py
p为焦准距（p>0）
在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线l的方程是x=—p/2； 在抛物线y^2=—2px 中，焦点是(—p/2，0），准线l的方程是x=p/2； 在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线l的方程是y=—p/2； 在抛物线x^2=—2py中，焦点是（0，—p/2），准线l的方程是y=p/2；
平面内,到一个定点F和不过F的一条定直线l距离相等的点的轨迹(或)称之为抛物线。另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。
定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p>0.
以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。
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