韦达定理求根公式 韦达定理根与系数的关系公式

韦达定理公式是什么

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出个实质性的论性。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

韦达定理求根公式 韦达定理根与系数的关系公式

韦达定理求根公式 韦达定理根与系数的关系公式

韦达定理求根公式 韦达定理根与系数的关系公式

韦达定理求根公式 韦达定理根与系数的关系公式

韦达定理求根公式 韦达定理根与系数的关系公式

英文名称：Vieta's formulas

韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1X2=c/a

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中，设两个根为x1，x2 则

X1+X2= -b/a

X1X2=c/a

用韦达定理判断方程的根

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，

若b^2-4ac<0 则方程没有实数根

若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根

若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0

韦达定理推广

它的根记作X1,X2…，Xn

我们有右图等式组

其中∑是求和，Π是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是，那么

由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

(x1-x2)的为√(b^2-4ac)/|a|

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出个实质性的论性。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a

（注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数）

可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a

1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a

所以X1﹢X2=-b/a

2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a]

所以X1X2=c/a

（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2

（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a

又因为X1.X2的值可以互换，所以则有

X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】

所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a

韦达定理推广的证明

设X1，X2，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。

则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiXi（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时用乘法原理）

通过系数对比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixi)

…A0=[(-1) ]×An×ΠXi

所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n)

∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n)

…ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

一元五次方程验证:

已知一个一元五次方程：a1(x^5)+b(x^4)+c(x^3)+d(x^2)+ex+f = 0 设该式为形式1

根据高斯的代数原理：上式在复数范围内必可分解成： a1(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5)=0 的形式；且x1,x2,x3,x4,x5是该多项式在复数范围内的根。

把上式展开成：

-a1x1x2x3x4x5+a1xx2x3x4x5+a1xx1x3x4x5-a1(x^2)x3x4x5+a1xx1x2x4x5-a1(x^2)x2x4x5-a1(x^2)x1x4x5+a1(x^3)x4x5+a1xx1x2x3x5-a1(x^2)x2x3x5-a1(x^2)x1x3x5+a1(x^3)x3x5-a1(x^2)x1x2x5+a1(x^3)x2x5+a1(x^3)x1x5-a1(x^4)x5+a1xx1x2x3x4-a1(x^2)x2x3x4-a1(x^2)x1x3x4+a1(x^3)x3x4-a1(x^2)x1x2x4+a1(x^3)x2x4+a1(x^3)x1x4-a1(x^4)x4-a1(x^2)x1x2x3+a1(x^3)x2x3+a1(x^3)x1x3-a1(x^4)x3+a1(x^3)x1x2-a1(x^4)x2-a1(x^4)x1+a1(x^5)=0

上述方程可化简成：

a1(x^5)-(x2+x1+x4+x5+x3)(x^4)a1+(x4x5+x1x3+x2x3+x1x2+x2x4+x1x4+x3x4+x3x5+x2x5+x1x5)

(x^3)a1-(x3x4x5+x2x3x5+x1x3x5+x1x2x5+x2x4x5+x1x4x5+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3)

(x^2)a1+(x2x3x4x5+x1x3x4x5+x1x2x4x5+x1x2x3x5+x1x2x3x4)xa1-x1x2x3x4x5a1=0

设化简后的方程为形式3.

对比形式1与形式3的x次方相同的数，即可得该多项式根与系数的关系

英文名称：Vieta's formulas

韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1X2=c/a

韦达

韦达

他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年轻时学习法律当过律师，后从事活动，当过议会的议员，在对西班牙的中曾为破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。

韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代数符号之父。韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。

他的《解析方法入门》一书（15年），集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个分支。他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解法。

一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1X2=c/a

x1+ x2=-b/a ， x1·x2=c/a.

x1+x2=-b/a x1.x2=c/a

还有 另一种变式 x2+px+q=0 x1+ x2=-p x1·x2=q

x1+x2=-a/b x1x2=c/a

X1×X2=c/a X1＋X2=-b/a

什么是韦达定理？韦达定理的推导过程，用一元二次方程求根公式