幂函数的性质 指数函数和幂函数的性质

指数函数：

幂函数的性质 指数函数和幂函数的性质

幂函数的性质 指数函数和幂函数的性质

自变量 x 在指数的位置上，y=a^x（a>0，a 不等于 1）

性质：

当 a>1 时，函数是递增函数，（1）图像必过(1,1)，如果a>0则还过(0,0)；且 y>0;

函数图像：

幂函数：

自变量 x 在底数的位置上，y=x^a（a 不等于 1）. a 不等于 1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。

高中数学里面，幂函数主要要掌握 a=-1、2、3、1/2 时的图像即可。其中当 a=2 时， 函数是过原点的二次函数。 其他 a 值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。

性质： 根据图象,幂函数性质归纳如下：

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点 （1,1）； （2）当 a>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上是增函数． 特别地，当 a>1 时，幂函数的图象下凸；当 0

（3）当 a<0 时，幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数．在象限内， 当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋 于+∞时，图象在轴 x 上方无限地逼近轴 x 正半轴。 指出：此时 y＝x0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别强调， 当 x 为任何非零实数时，函数的值均为 1，图像是从点（0，1）出发，平行于 x 轴的两条射线，但点（0，1）要除外。

求幂函数Y=X^a的图像。 (要详细点的)

Y=X^a

∵1^a=1

a为奇数时，Y为奇函数，关于原点对称；a为偶数时，Y为偶函数，关于Y轴对称。

∵Y'=aX^(a-1)

∴a为正奇数时，Y为增函数，a为负奇数时，Y为减函数（分段，-∞→0,0→+∞）

Y=X^a∵1^a=1∴幂函数图像必过定点(1,1)a>0时 0^a=0,图像过定点(0,0)a为奇数时，Y为奇函数，关于原点对称；a为偶数时，Y为偶函数，关于Y轴对称。∵Y'=aX^(a-1)∴a为正奇数时，Y为增函数，a为负奇数时，Y为减函数（分段，-∞0,0+∞）a为正偶数时，x负半轴Y为减函数，x正半轴Y为增函数；x负半轴Y为增函数，x正半轴Y为减函数

幂函数的图像 Y = X^a 取决于指数 a 的值，可以分为以下几种情况进行讨论：

- 当 X > 0 时，随着 X 的增大，Y = X^a 也会增大。当 X = 0 时，Y = 0。因此，在象限中，该函数的图像由原点 (0, 0) 开始，并随着 X 的增大而逐渐向上增长。

2. 当 a = 0 时：

- 无论 X 的值如何，Y 始终为常数 1。因此，函数的图像是一个水平线段 Y = 1。

- 对于负指数，函数的图像与正指数的情况相反。在正半轴上的图像会在 X 轴附近更陡峭并趋近于无穷大，而在负半轴上的图像会在 X 轴附近更平缓并趋近于零。因此，幂函数在这种情况下的图像在象限中从上往下逐渐减小。

需要注意的是，上述讨论中只考虑了实数范围内的情况。在复数范围内，幂函数的图像可能更加复杂，因为复数存在幅度和相位的概念。

下面是几个示例：

- 当 a > 0 时，如 a = 2，图像会类似于抛物线，开口向上并向右侧扩张。

- 当 a = 0 时，图像是一条水平直线 Y = 1。

- 当 a < 0 时，如 a = -1，图像会类似于反比例函数，并且在 X 轴上有一个垂直渐近线。

希望这些示例能帮助你更好地理解幂函数的图像特征。

幂函数图像：幂函数的图像是指函数y=x^a在坐标系中的表示形式。其中，x为自变量，a为常数指数。

知识点运用：通过绘制幂函数的图像，我们可以观察和分析函数的增减性、奇偶性、对称性等特征，进而研究函数的性质和应用。

知识点列题讲解：以下是绘制幂函数y=x^a图像的步骤详细说明：

选择合适的坐标系，并确定x轴和y轴的范围。

根据指数a的值，确定函数的增减性和奇偶性。当a为正数时，函数递增；当a为负数时，函数递减；当a为偶数时，函数关于y轴对称；当a为奇数时，函数关于原点对称。

选择几个合适的x值，计算对应的y值，得到一些坐标点。

将这些坐标点连接起来，绘制出幂函数的图像。

，检查图像是否符合幂函数的特点，并进行必要的调整和修正。

幂函数 y = x^a 的图像可以根据不同的 a 值得到不同的形状。下面详细介绍一些常见的情况：

- 若 a > 1，则函数呈现增长趋势，远离原点越远，增长速度越快。

- 若 0 < a < 1，则函数呈现衰减趋势，离原点越远，衰减速度越快。

- 当 a > 1 时，函数图像上的 (0,0) 点是一个关键点，被称为原点或者起点。

- 若 a < -1，则函数呈现倒置的增长或衰减趋势，原点是函数的一个关键点。

需要注意的是，对于 a 非整数的情况，当 x 小于等于 0 时，函数可能无定义或者复数值，因此通常只考虑 x 大于 0 的部分。此外，函数图像的形状还受到平移和缩放等因素的影响，例如加入常数项可以使函数图像上下平移，调整 a 的值可以改变曲线的陡峭程度。

幂函数的性质是什么

形如y=x^a(a为常数）

(1)当m，n都为奇数，k为偶数时，如

等，定义域、值域均为R，为奇函数；

等，定义域、值域均为{x∈R|x≠0a为正偶数时，x负半轴Y为减函数，x正半轴Y为增函数；x负半轴Y为增函数，x正半轴Y为减函数}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数；

(3)当m为奇数，n为偶数，k为偶数时，如y=x^a，当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

，等，定义域、值域均为[0，+∞（关于对幂函数内容深度的历史沿革）：在1987年之前，各地多为2年制高中。但为提高试卷难度，在幂函数内容上杂乱无章的研究极为混乱。例如，y=x^2,本来是很常见的抛物线，但是如果改写成了y=x^(4/2),也就有出现了问题：是让x先进行方、随后再四次幂？这样就使得定义域仅仅是非负实数集；反之，先让x进行四次幂运算，再方？这样就使得定义域成了整个实数集了。同时，这个y=x^2幂函数的奇偶性也发生了改变。老师也就莫衷一是。于是，在1988年之后，恰恰各地多为3年制高中，发文，并且在教科书做了很大的删减。逐渐对知识内容深度有了共识——以课本为中心，不可再增大难度。（这也就是上面第3款出现的缘由）。)，为非奇非偶函数；

(4)当m为奇数，n为偶数，k为奇数时，如

，等，定义域、值域均为(0，+∞)，为非奇非偶函数；

(5)当m为偶数，n为奇数，k为偶数时，如

(6)当m为偶数，n为奇数，k为奇数时，如

重要幂函数的图象一定在象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

幂函数是必修几的内容

幂函数是高(2)当m，n都为奇数，k为奇数时，如中数学必修一的内容。幂函数的性质如下：

1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都通过定点(1，1)。

1、图像都经过点（1,1）（0,0）。

2、函数的图像在区间[0,+∞）可以。但是要注意0的0次方情况。上是增函数。

3、在象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）。

指数函数与幂函数的区别

指数函数与幂函零值性质数的区别如下：

3、性质不同：指数函数和幂函数的性质随自变量的取值范围不同而改变，幂函数的性质有多种，而指数函数的性质有两种，若自变量大于0且小于1时，指数函数是递减函数，若自变量大于1时，指数函数是递增函数。

幂函数有哪些性质？

幂函数的定义域和值域，随着n的不同而不同。

不论n为何定值，图像都过定点（1,1，等，定义域为R、值域为[0，+∞)，为偶函数；）。

在象限的图像：n>1时 ，为下凸函数；n<1时，为上凸函数。

n=1时，图像为、第三象限的角平分线。

你可以看看：

基本初等函数图像和性质有哪些？

基本初等函数图像及性质如下：

1、幂函数性质如下：

图像都经过点（1,1）（0,0）；函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；在象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；

负值性质：当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

图像都通过点（1,1）；图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。在象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，- 当 X < 0 时，偶数指数 a 依然适用于上述规律。然而，奇数指数 a 则会导致图像在 X 轴的负半轴上出现负值，因为负数的奇次幂是负数。例如，当 a = 3 时，(-1)^3 = -1，(-2)^3 = -8，依此类推。对于奇数指数，在负半轴上的图像与整数指数 a 的情况相反。自变量趋近+∞，函数值趋近0。

零值性质：当α=0时，幂函数y=xa。

2、指数函数的性质如下：

a、y=x0的图像是直y＝x属于幂函数。线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的函数值恒大于零，定义域为R，值域为（0，+00）；指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的图像经过点（0，1）；指数函数y=a^x（a>1）在R上递增，指数函数y=a^x（0

函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且相交。函数总是通过（0，1）这点,(若 ,则函数定过点(0,1+b))；指数函数；指数函数是非奇非偶函数；指数函数具有反函数，其反函数是对数函数。

3、对数函数性质如下：

定义域：对数函数y=log ax 的定义域是{x 丨x>0}；定点 ：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；单调性 ：a>1时，在定义域上为单调增函数； 0

初等函数性质

初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。有两种分类方法：数学分析有六种基本初等函数，高等数学只有五种。

幂函数的基本性质

f(x)=x^a：

（3）a为奇数时，为奇函数，a为偶数时，为偶函数

1a大于零且小于1则在0到正无穷上单幂函数的正值性质调递增，且为凹函数，增长越来越慢。如二分之一时。a大于10到正无穷增长越来越快，凸函数。幂函数是指y=x的n次幂的函数。如2时。 a小于零，0到正无穷减函数，如是负1时。在负无穷到零上不研究。

3当a为整数时，奇奇偶偶，奇是奇函数，偶是偶函数。

幂函数的图像与性质

幂函数的一般形式为y=x^a。

如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情对数函数的计算公式：y=log(a)X，（其中a是常数，a>0且a不等于1）况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意- 若 a = -1，则函数 y = x^-1 表示反比例函数，即 y = 1/x，是一个双曲线，通过、三象限的 (1,1) 点和第二、四象限的 (-1,-1) 点。取值都有意义的，因此下面给出幂函数在象限的各自情况.

可以看到：

（1）所有的图形都通过（1，1）这点。

（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。

（6）显然幂函数。